原来，高深的加密技术，其实就是一个棍子在绳子上绕来绕去的结节！

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第3季第13篇。

关于线性代数的内容我们后面再聊，今天我们谈一个新内容，即椭圆曲线的应用！

椭圆曲线是数学中的一种曲线，它在现代密码学中扮演了非常重要的角色，特别是在加密和数字签名方面。尽管“椭圆曲线”这个名字听起来可能会让人觉得有些复杂，但我会尽量用通俗易懂的语言来解释。

首先，椭圆曲线并不是我们日常生活中所说的椭圆。

在数学上，它是满足以下方程的点的集合：

这里的a和b是方程的参数，它们决定了椭圆曲线的具体形状，如下动图，通改变a，b的值，曲线也会跟着变化。

当然，这个方程确保了曲线上任何一个点都会满足等式，形成一个平滑的曲线。

圆锥曲线加密的原理

这种曲线的特点是上下对称，非常平滑，具有很多很好的性质，特别是从曲线上的任意一点（图中的A点）画一条直线，它最多和曲线本身有三个交点（包括该点本身）。

椭圆曲线的特点之一是，如果你在曲线上选取任意两点，并画一条直线穿过这两点，那么这条直线将会与曲线再次相交于第三点。

然后，如果你在这个交点处对曲线做垂直镜像，你会得到曲线上的另一个点。

这个性质被用于椭圆曲线上的“加法”操作，是椭圆曲线密码学的基础。

在密码学中，椭圆曲线用于创建一种难以破解的系统。

这主要是因为椭圆曲线上的某些数学操作是单向的：在一个方向上很容易进行计算，但在反方向上却几乎不可能找到原始值。

我们来举个例子看看：

如上图，从点A出发，画一条线经过点B，最后又和曲线交于点C。

利用这个性质，我们定义一种数学运算，叫做点乘“·”，以后用A·B=C来表示这三个点之间的关系，意思就是：从A点向B点连线，与曲线相交于C点。

我们知道，椭圆曲线是相对x轴对称的，因此我们做C关于x轴的对称点D，把D作为新的一个点，再与A点连一条线。

于是，便与椭圆曲线又有了一个交点E，这么一连，同理，就得到A·D=E。

然后我们可以不断重复这个过程。假设我们最后经过K次这样的点乘运算，停到了Z点。

*注：在这个过程中，有四点需要作一下说明：

首先，点乘这个运算满足交换律和结合律，因此先后顺序不重要。

其次，为了防止不断迭代后计算结果发散，导致x值太大，便在右边某个横坐标很大的地方设一个阈值边界Max（最大值），超过Max后，再让直线反射回来。

最后，虽然图中的曲线是连续的，每一个点的取值是实数，但是我们在真正使用时，是通过某种变换将它离散化了，因此所有的点都是整数值。

可能有人会担心，会不会经过这一次次的运算，又回到原来某个点了？

答案是不可能的！

这个操作有点像两个巨大的素数相乘后，再对某个素数相除取余数（也被称为模运算，Mod），只要算法设计得好，和原来某个点重复的可能性近乎为零。

所以你看，如果我告诉你一开始是从A经过B到C，再到D，到E等等，一共走了K步，你可以推算出最后停到了Z，这一过程直观而简单。

但是，如果我告诉你起点是A，终点是Z，你要想猜出我经过了多少步完成上述过程，这几乎是不可能的，或者说，计算量是极大的。

这种不对称性使得验证结果非常容易，但是想破解密码却难上加难。

等于我说，我家在广州塔A，你家在东方明珠B，我从A到B设定为先做高铁，再坐飞机，再做地铁，然后汽车，最后走路，到达！

但是让你猜我们怎么到的，你猜得到吗?

所以，椭圆曲线加密的安全性建立在椭圆曲线离散对数问题的难解性上。

相比于传统的基于大数分解的加密方法，椭圆曲线加密可以使用更短的密钥长度达到相同或更高的安全级别，从而提高效率和速度。

总之，椭圆曲线是一种在数学上定义清晰，但在直观理解和计算上可能较为复杂的曲线。在密码学中，利用其特有的数学性质，能够构建出既安全又高效的加密系统。

最后，补充下其实密码学是一个非常有意思的领域，这里涉及的数学应用非常多，我之前研读过卓克老师的密码学课。有机会我会给大家再开个系列来谈谈。

科学羊的密码学笔记

好，今天就先这样啦！

科学羊🐏  2024/03/07

祝幸福~

PS：

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